Mevcut çalışmada, (p, q)−tam sayıya dayalı iki boyutlu Chlodovsky tipi Bernstein operatörlerini tanıtıyoruz. Yeni operatörümüzün yaklaşıklık özelliklerini Korovkin tipi teorem yardımıyla inceliyoruz. Ayrıca, yerel yaklaşıklık özelliklerini sunuyoruz ve süreklilik modülü ve Lipschitz tipi maksimal fonksiyon vasıtasıyla yakınsama oranlarını belirliyoruz. Ayrıca, bu operatörler için bir Voronovskaja tipi teorem veriyoruz. Ve, bu operatörlerin ağırlıklı yaklaşıklık özelliklerini inceliyoruz ve aynı uzayda yakınsama oranını tahmin ediyoruz. Son olarak, Maple'ın yardımıyla, açıklayıcı grafikler bu operatörlerin belirli fonksiyonlara yakınsama oranlarını göstermektedir. Sistem kontrolü sırasında operatörler tarafından yaklaşıklık hızlarının optimizasyonu, kararlılık ve performansta önemli iyileştirmeler sağlar. Sonuç olarak, dinamik sistemlerin kontrolü ve modellenmesi yenilikçi yöntemlerle daha verimli ve etkili hale gelir. Kesirli diferansiyel denklemlerin modellenmesi ve kontrol teorisi alanındaki bu gelişmeler, hem modelleme hem de optimizasyon süreçlerine önemli faydalar sunarak bu alanlardaki uygulama yelpazesini genişletmektedir.

In the present study, we introduce the two dimensional Chlodovsky type Bernstein operators based on (p,q)−integer. We examine approximation properties of our new operator by the help of Korovkin-type theorem. Further, we present the local approximation properties and establish the rates of convergence by means of the modulus of continuity and the Lipschitz type maximal function. Also, we give a Voronovskaja type theorem for this operators. And, we investigate weighted approximation properties of these operators and estimate rate of convergence in the same space. Finally, with the help of Maple, illustrative graphics show the rate of convergence of these operators to certain functions . The optimization of approximation speeds by operators during system control provides significant improvements in stability and performance. As a result, the control and modeling of dynamic systems become more efficient and effective through innovative methods. These advancements in the fields of modeling fractional differential equations and control theory offer substantial benefits to both modeling and optimization processes, expanding the range of applications in these areas.